Kalkulus Limit

KALKULUS: LIMIT

Limit pada dasarnya yaitu pendekatan terhadap suatu fungsi pada nilai tertentu. Sebelum meninjau lebih jauh, kita akan membedakan dua jenis solusi/ penyelesaian terlebih dahulu, yaitu

a)      Solusi pasti, yaitu solusi yang memiliki hasil yang pasti. Sebagai contoh, apabila terdapat suatu fungsi

dan memasukkan nilai x = 3,

maka f(3) = 6.

Solusi dari f(x) untuk x = 3 ini merupakan solusi pasti.

b)      Solusi pendekatan, yaitu solusi yang tidak memiliki hasil yang pasti. Solusi pendekatan umumnya diperoleh melalui proses-proses perhitungan yang tidak sederhana, dan terkadang diperoleh dengan membulatkan nilai-nilai tertentu. Contohnya, apabila kita mengalikan bilangan a dengan b, dimana nilai a = 3 dan nilai b = 1.9, kita akan memperoleh solusi pasti a*b = 5.7. Namun kita dapat memperoleh solusi pendekatan a*b  6 apabila kita membulatkan nilai b = 1.9 menjadi b  2. Tanda “mendekati” biasa dituliskan dengan tanda .

Penyelesaian dari bentuk limit merupakan bentuk pendekatan. Untuk memahami konsep limit, kita akan meninjau dua fungsi, yaitu

a. 

.  

Kedua fungsi di atas merupakan fungsi yang memiliki kurva yang sama. Namun, kedua fungsi tersebut memiliki perbedaan. Pada fungsi f(x), dengan mensubstitusikan x = 1, kita akan mendapatkan hasil f(1) = 2. Namun pada fungsi g(x), kita tidak akan mendapatkan hasil yang sama seperti f(1), melainkan 0/0. Nilai tersebut merupakan nilai tak tentu, karena apabila mengasumsikan nilai 0/0 = x, dan merombak persamaan tersebut menjadi 0*x = 0, maka nilai x dapat menjadi apa saja (karena bilangan apapun yang dikalikan nol akan menghasilkan nilai nol), sehingga nilai pasti dari x tidak dapat ditentukan. Akibatnya, terdapat suatu diskontinuitas dari nilai g(x) pada nilai x = 1 (nilai g(x) terpotong pada x = 1). Disinilah peran dari bentuk limit, yaitu salah satunya untuk menentukan diskontinuitas pada suatu fungsi.

Bentuk dasar dari limit adalah

dimana L merupakan nilai dimana fungsi f(x) memiliki diskontinuitas pada x = a apabila f(a) menghasilkan nilai tak tentu 0/0. Namun, definisi dari limit ini masih untuk kasus terntentu seperti kasus di atas, karena bentuk limit bisa diterapkan tidak hanya untuk kasus persamaan yang bisa menghasilkan nilai 0/0 saja, namun juga bisa untuk persamaan yang selalu menghasilkan nilai linier dan kontinu seperti persamaan f(x) = x + 1 di atas. Dalam kasus f(x) = x + 1, nilai dari L tidak lain adalah nilai aproksimasi dari f(x) ketika x mendekati a, sehingga berlaku

Kita akan ambil contoh pada Persamaan b di atas. Persamaan tersebut memiliki diskontinuitas pada x = 1. Maka kita tidak selamanya harus mengambil nilai a = 1, tapi kita juga bisa mengambil nilai lain seperti a = 2. Dengan demikian nilai f(a) merupakan nilai tentu.

Secara singkat, bentuk limit pada dasarnya merupakan bentuk fungsi seperti biasa, namun perbedaannya adalah bentuk limit merupakan bentuk pendekatan, sedangkan bentuk fungsi merupakan bentuk pasti.